计算能力

简介

儿童在学习和发展过程中遵循自然的发展进程。举个简单的例子，孩子们首先学会爬，然后是走、跑、跳和跳，速度和灵巧度都有所提高。同样，他们在学习数学时遵循自然发展进程;他们以自己的方式学习数学思想和技巧。当教育者理解了这些发展进程，并在此基础上对活动进行排序时，他们就可以建立适合发展且有效的数学丰富的学习环境。这些发展路径是一个重要的组成部分学习轨迹．

主要研究问题

学习轨迹可以帮助我们回答几个问题。

1. 我们应该设立什么目标?
2. 我们从哪里开始呢?
3. 我们怎么知道下一步该去哪里?
4. 我们怎么去那里?

近期研究成果

最近，研究人员已经就学习轨迹的本质达成了基本共识。¹学习轨迹有三个部分:a)数学目标;B)孩子达到目标的发展路径;c)一套教学活动或任务，与这条道路上的每个思维层次相匹配，帮助孩子发展更高层次的思维。让我们分别研究这三个部分。

目标:数学的大思想

学习轨迹的第一部分是数学的目标．我们的目标是数学的大概念——在数学上是核心的、连贯的、与儿童思维一致的、对未来学习具有生成性的概念和技能集群。这些伟大的想法来自于几个大型项目，包括国家数学教师委员会和国家数学小组的项目。^2、3、4例如，一个重要的想法是计数可以用来找出一个集合中有多少个。另一个是，几何形状可以被描述、分析、转换、组合和分解成其他形状．重要的是要意识到有几个这样的大想法和学习轨迹，根据你如何分类，大约有12个。

发展进程:学习的路径

学习轨迹的第二部分包括思考的层次;一个比一个复杂，从而达到数学目标。也就是说，发展进程描述了儿童在发展对数学主题的理解和技能时所遵循的典型路径。数学能力的发展始于生命之初。幼儿从出生起就在数字、空间感觉和模式方面具有某些类似数学的能力。^5、6

然而，幼儿的想法和他们对情况的解释与成年人截然不同。出于这个原因，优秀的幼儿教师会谨慎地不假设孩子们像成年人一样“看待”情况、问题或解决方案。相反，好老师会解释孩子在做什么和想什么;他们试图从孩子的角度看问题。同样，当这些教师与孩子互动时，他们也会从孩子的角度考虑教学任务和他们自己的行动。这使得幼儿教育既苛刻又有益。

我们创建的学习轨迹是构建模块的一部分^一个和三合会^b项目为每个学习轨迹中的每个层次的思维提供了简单的标签。图1展示了学习计数轨迹的一部分。“发展进程”一栏提供了每个阶段的标签和描述，以及儿童思维和行为的例子。需要注意的是，第一列中的年龄是近似值。如果没有经验，一些孩子可能会比平均年龄晚几年。有了高质量的教育，孩子们可以远远超过这些平均水平。举例来说，在我们的积木课程中，4岁的孩子在大多数学习轨迹上达到或超过了“5岁”的水平，包括计数。(关于数学中所有主题的完整学习轨迹，请参见Clements & Sarama;⁷萨拉玛&克莱门茨。⁶这些著作还回顾了所有学习轨迹所基于的广泛研究工作。)

教学任务:教学路径

学习轨迹的第三部分由一组教学任务组成，与发展进程中的每个思维层次相匹配。这些任务旨在帮助孩子们学习达到那种思维水平所需的想法和技能。也就是说，作为老师，我们可以利用这些任务来促进孩子从一个层次到下一个层次的成长。图1中的第三列提供了示例任务。(同样，Clements & Sarama的完整学习轨迹，^6、7不仅包括所有的发展水平，还包括每个水平的教学任务。)

表1。来自计数学习轨迹的样本(所有样本来自Clements & Sarama，⁸Clements & Sarama，⁷萨拉玛&克莱门茨⁶）.

年龄	发展的进程	教学任务
1年	Pre-Counter口头没有口头计数。 风笛口头唱着“唱歌”，有时是难以分辨的数字词。	将数字词与数量联系起来，并作为计数序列的组成部分。 在不同的环境中重复计数序列的经验。
2	朗诵者口头口头计数与单独的单词，不一定是正确的顺序。	提供在不同情况下重复、频繁的计数序列经验。 计数和种族孩子们在电脑的帮助下，通过一次一辆地往跑道上加车来口头数数(最多50辆)。
3.	朗诵者(10)口头口头数到十，用一些与对象的对应关系。	计数和移动让所有孩子从1-10或适当的数字开始数数，每数一次做动作。例如，说“一”(碰碰头)，“二”(碰碰肩膀)，“三”(碰碰头)等等。
	对应在计数单词和对象之间保持一对一的对应关系(每个对象对应一个单词)，至少对于排成一行的小组对象。	厨房柜台在电脑前，孩子们一次点击一个物体，同时大声数出从1到10的数字。例如，他们点击食物块，每吃一口就会被计算出来。
4	柜台(小额)准确地将一行中的对象数到5，并回答“有多少”问题，其中最后一个数字被计算在内。	盒子里的立方体让孩子数一小组方块。把它们放进盒子里，盖上盖子。然后问孩子你藏了多少个立方体。如果孩子准备好了，让他/她写下数字。把它们倒出来，一起数一下。 披萨孩子们数到5，在披萨上撒上与目标数量相符的配料。
	生产者-计数器(少量)将对象数到5。认识到计数与必须放置某个数字的情况有关。	数运动在等待过渡的时候，让孩子数一数你跳了多少次，拍了多少次，或其他动作。然后让他们做同样次数的动作。首先，和孩子们一起数动作。 披萨孩子们给一个假披萨(最多5个)添加配料，以匹配目标数字。
5	计数器和生产者(10+)将对象精确地计数到10，然后超过10(到大约30)。对基数有明确的理解(数字如何表示多少)。 跟踪已经和没有被计数的对象，即使在不同的安排。	计数塔(超过10座)为了让孩子们数到20甚至更多，可以让他们用硬币等其他物品做塔。孩子们建一座尽可能高的塔，放更多的硬币，但不把已经在塔里的硬币拉直。目标是估计并数出你的最高塔上有多少枚硬币。 恐龙店2孩子们把恐龙放进盒子里，以匹配目标数字。

总之，学习轨迹描述了学习的目标、不同层次儿童的思考和学习过程，以及他们可能参与的学习活动。人们通常对学习轨迹有几个问题。

未来的发展方向

尽管学习轨迹已经被证明对早期数学课程和专业发展是有效的，^9、10很少有研究比较了不同的实施方式。因此，它们的确切作用仍有待研究。此外，在早期，一些学习轨迹是基于大量的研究，如计数和算术。然而，其他的，如模式和测量，有一个较小的研究基础。此外，对于教高年级学生的许多更复杂的数学题目，几乎没有指导方针。这些仍然是该领域面临的挑战。

结论

学习轨迹有望改善早期数学领域的专业发展和教学。例如，少数真正在改革数学课堂上进行深入讨论的教师，并不认为自己是在学习一门课程，而是在帮助学生提高理解水平。¹¹此外，研究人员认为，专注于学习轨迹的专业发展不仅可以增加教师的专业知识，还可以提高学生的积极性和成就。^12、13、14因此，学习轨迹可以促进适合所有儿童发展的教学和学习。

作者注:

这篇论文是基于部分由国家科学基金会资助的工作。ESI-9730804 - D. H. Clements和J. Sarama“构建模块-数学思维的基础，学前班到二年级:基于研究的材料开发”，并由教育科学研究所(美国教育部，在跨部门教育研究计划下，或IERI, IES, NSF和NICHHD的合作)资助。R305K05157致D. H. Clements, J. Sarama和J. Lee，“扩大TRIAD:用轨迹和技术理解早期数学教学。”本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议都是作者的观点，并不一定反映资助机构的观点。在本研究中评估的课程已经由作者出版，因此他们对结果有既得利益。一名外部审核员监督研究设计、数据收集和分析，五名研究人员独立确认研究结果和程序。作者(按字母顺序排列)对这项研究的贡献相同。

参考文献

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^一个请参见“构建模块”网站。可以在:http://www.ubbuildingblocks.org/。2010年6月3日访问。

^b参见TRIAD网站。可以在:http://www.ubtriad.org。2010年6月3日访问。